الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

خطوة 1

اطرح $\frac{x^{2}}{4}$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

خطوة 2

اضرب كلا المتعادلين في $- 9$ .

$- 9 (- \frac{y^{2}}{9}) = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

خطوة 3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط $- 9 (- \frac{y^{2}}{9})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y^{2}}{9}$ إلى بسط الكسر.

$- 9 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

خطوة 3.1.1.1.2

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

خطوة 3.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$9 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

خطوة 3.1.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

خطوة 3.1.1.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

خطوة 3.1.1.2.2

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $- 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = - 9 \cdot 1 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $- 9$ في $1$ .

$y^{2} = - 9 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $- 9 (- \frac{x^{2}}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$y^{2} = - 9 + 9 \frac{x^{2}}{4}$

خطوة 3.2.1.3.2

اجمع $9$ و $\frac{x^{2}}{4}$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4}$

خطوة 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$

خطوة 5

بسّط $\pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{4}}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $\frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 3^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.2

أعِد ترتيب $- 3^{2}$ و ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3 x}{2})}^{2} - 3^{2}}$

خطوة 5.5

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \frac{3 x}{2}$ و $b = 3$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

خطوة 5.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 x}{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

خطوة 5.6.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3 (1)) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

خطوة 5.6.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

خطوة 5.6.2

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 x}{2} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} - 3)}$

خطوة 5.6.2.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} + 3 (- 1))}$

خطوة 5.6.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 \frac{x}{2} + 3 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 (\frac{x}{2} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) \cdot 3 (\frac{x}{2} - 1)}$

خطوة 5.6.3

اضرب $3$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}$

خطوة 5.7

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}$

خطوة 5.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}$

خطوة 5.9

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

خطوة 5.10

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

خطوة 5.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 5.12

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 2}{2}}$

خطوة 5.13

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.13.1

اجمع $9$ و $\frac{x + 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2)}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}$

خطوة 5.13.2

اضرب $\frac{9 (x + 2)}{2}$ في $\frac{x - 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}$

خطوة 5.13.3

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}}$

خطوة 5.14

أعِد كتابة $\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.14.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9 (x + 2) (x - 2)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}$

خطوة 5.14.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}$

خطوة 5.14.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

خطوة 5.15

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

خطوة 5.16

اجمع $\frac{3}{2}$ و $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

خطوة 6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

خطوة 6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

خطوة 6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

خطوة 7

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 8.2

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 8.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 8.3

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 8.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 8.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 2, 2$

خطوة 8.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

خطوة 8.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 8.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

خطوة 8.6.1.3

الطرف الأيسر $12$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 8.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 2 < x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 2 < x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 8.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

خطوة 8.6.2.3

الطرف الأيسر $- 4$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 8.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

خطوة 8.6.3.3

الطرف الأيسر $12$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 8.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 2$ خطأ

$x > 2$ صحيحة

$x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 2$ خطأ

$x > 2$ صحيحة

خطوة 8.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq - 2$ أو $x \geq 2$

خطوة 9

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

خطوة 10

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${y | y \in ℝ}$

خطوة 11

حدد النطاق والمدى.

النطاق: $(- \infty, - 2] \cup [2, \infty), {x | x \leq - 2, x \geq 2}$

المدى: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

خطوة 12